\chapter{汤川秀树介子理论的推导过程 (1935)}
		
		\begin{abstract}
			本文详细推导了汤川秀树(Yukawa Hideki)在1935年提出的介子理论。通过分析核力的短程特性，汤川假设存在一种未知粒子(后称为$\pi$介子)作为核力的载体。我们从量子场论角度出发，推导出汤川势的数学形式，并计算介子的质量估计。这一开创性工作不仅解释了核力现象，还预言了介子的存在，为粒子物理学发展奠定了基础。
		\end{abstract}
		
		\section{引言}
		1935年，日本物理学家汤川秀树提出了一种革命性理论来解释原子核内部的强相互作用\cite{yukawa1935}。当时已知的电磁相互作用由光子传递，而汤川类比这一机制，假设核力由一种有质量粒子传递。本文将重现这一历史性推导过程。
		
		\section{核力的基本性质}
		实验观测表明核力具有以下特性：
		\begin{itemize}
			\item 短程性：作用范围约$10^{-15}$m量级
			\item 强相互作用：比电磁力强约100倍
			\item 与电荷无关：质子-质子、中子-中子、质子-中子间的核力近似相同
		\end{itemize}
		
		\section{理论推导}
		\subsection{波动方程的建立}
		类比电磁场的波动方程：
		\begin{equation}
			(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})\phi = 0
		\end{equation}
		
		对于有静止质量$m$的粒子，根据相对论能量-动量关系：
		\begin{equation}
			E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2
		\end{equation}
		
		对应算符替换$E \rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$, $\mathbf{p} \rightarrow -i\hbar\nabla$，得到Klein-Gordon方程：
		\begin{equation}
			(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2})\phi = 0
		\end{equation}
		
		\subsection{静态场解}
		对于静态情况，时间导数为零，方程简化为：
		\begin{equation}
			\nabla^2\phi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi = 0
		\end{equation}
		
		在球坐标系中，对于$r \neq 0$点：
		\begin{equation}
			\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d\phi}{dr}) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi = 0
		\end{equation}
		
		设解的形式为$\phi = \frac{u(r)}{r}$，得到：
		\begin{equation}
			\frac{d^2u}{dr^2} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2}u = 0
		\end{equation}
		
		解为指数函数：
		\begin{equation}
			\phi(r) = g\frac{e^{-r/R}}{r}
		\end{equation}
		
		其中特征长度$R = \frac{\hbar}{mc}$，$g$为耦合常数。
		
		\subsection{势场特性分析}
		汤川势表现为短程力，有效作用范围由$R$决定：
		\begin{itemize}
			\item 当$r \ll R$时，$\phi \sim 1/r$（类似库仑势）
			\item 当$r \gg R$时，势呈指数衰减
		\end{itemize}
		
		根据核力作用范围$R \approx 1.5 \text{fm}$，可估算介子质量：
		\begin{equation}
			m = \frac{\hbar}{Rc} \approx 140 \text{MeV}/c^2
		\end{equation}
		
		\section{历史意义}
		汤川的理论预言了：
		\begin{enumerate}
			\item 核力由粒子交换产生
			\item 该粒子质量介于电子和质子之间（故称"介子"）
			\item 质量约100-200 MeV/c$^2$
		\end{enumerate}
		
		1947年，$\pi$介子($m_\pi \approx 140\text{MeV}/c^2$)的发现证实了这一预言。
		
		\section{结论}
		汤川秀树通过理论推导预言了介子的存在，其核心思想包括：
		\begin{itemize}
			\item 核力由粒子交换产生
			\item 力的作用范围与载体粒子质量成反比
			\item 建立了第一个成功的核力场论
		\end{itemize}
		
		这一工作为量子场论和粒子物理发展开辟了新道路，汤川因此获得1949年诺贝尔物理学奖。
		
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem{yukawa1935} 
			Yukawa H. \textit{On the Interaction of Elementary Particles. I}. Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, 1935, 17:48-57.
		\end{thebibliography}
		